多元正交多项式的应用

博士岗位，研究随机矩阵理论，开发基于 Jack 多项式的工具。申请者应具备扎实的数学背景。博士论文旨在解决若干开放问题。

项目细节： 随机矩阵理论（RMT）诞生于20世纪50年代，源于一种需求——即需要一种模型来预测那些过于复杂而无法精确描述的系统的谱行为。 针对那些元素为随机变量的大矩阵的研究，能够再现复杂量子系统的普遍特征——即这些特征不依赖于所研究系统的具体细节，而是涉及更一般的特征，例如时间反演对称性是否存在。 尽管RMT被引入用于研究复杂的量子系统，例如大型原子核的激发能级，但观察到在经典动力学具有混沌特性的情况下，利用RMT可以预测单个粒子的谱统计特性。 这引出了随机矩阵猜想，该猜想至今仍未完全解决。即具有时间反演对称性的混沌系统的谱统计特性，恰好与高斯对称矩阵统计特征的大矩阵尺寸极限相吻合；若缺乏时间反演对称性，则谱统计对应高斯厄米矩阵的统计。 在著名的黎曼ζ函数（Riemann zeta function）的零点分布中，也观察到了 RMT 所描述的规律。Montgomery 为这一对应关系提供了理论证据，Odlyzko 则以出色的大规模数值计算，使其得到超出合理怀疑程度的支持。 本项目的目标是在Jack多项式理论的基础上，开发用于RMT的新工具与方法。这些多元齐次对称多项式是某些偏微分算子的特征函数。它们在RMT中的重要性源于Kadell针对RMT中自然出现的测度所给出的关于Jack多项式的积分公式，该积分可明确计算。对于其他随机矩阵系综，预期多元正交多项式也会以类似方式出现。这些多元多项式在Jack多项式基组中展开。 多变量正交多项式与杰克多项式的实用价值直到最近才被真正认识到，目前还有许多未解决的问题适合作为博士论文的研究内容。 该项目旨在解决关于多元正交多项式的以下问题： 在原点处的多元 Hermite 多项式的值。(0,...,0)。对于原点处的多元 Laguerre 和 Jacobi 多项式，已有明确的、易处理的公式，但关于Hermite多项式的结果仅为部分且不够令人满意。本项目的这一部分将致力于寻找适用于原点处Hermite多项式值的封闭公式。 雅可比多项式的生成函数。对于Hermite（厄米）和 Laguerre（拉盖尔）多元正交多项式，已知有闭式生成函数，这些函数与一变量情形下的生成函数具有类似性。 关于多变量雅可比多项式，目前尚不知晓相应的公式。 在本项目部分中，您将研究这一令人不满意的现象，并试图寻找其生成函数的封闭公式。 将雅可比多项式与拉盖尔多项式联系起来的积分公式。在单变量情况下，存在一种已知的积分公式，可将拉盖尔多项式转化为雅可比多项式。目前尚不清楚该公式是否可推广至 n 维空间。本项目的部分工作将致力于研究这种推广是否可能。 针对解决这些问题所得到的答案，可能具有许多实用的应用价值。例如，对问题1)的有效解将直接有助于更好地计算在RMT中使用的某些积分。 94%的拉夫堡大学研究影响力被评定为世界领先或国际优秀水平。REF 2021

入学要求： 2:1+ 2026-27学年费用（每学年） （自筹资金）英国：5,238英镑 国际：23,100英镑 全日制 3年 非全日制 6年 开始日期 2026年10月，2027年2月 申请截止日期 2026年10月31日 项目编号 MA/BW-SF1/2026 地点 拉夫堡 学科领域 数学科学 在线申请 订阅电子邮件 参加我们的开放日及活动 我们的入学要求采用英国标准本科学位等级，即一等荣誉学位、二等一荣誉学位和二等二荣誉学位。如需了解您所在国家的对应资格，请在下方下拉菜单中选择该国家。 英国入学要求： 数学专业一等或良好水平的2:1学位。

申请方式： 所有申请须在线提交。在项目名称栏选择“Mathematical Sciences（数学科学）”，并在申请中注明招聘参考编号：MA/BW-SF1/2026。 为避免申请处理延误，请务必提交个人简历 CV及最低限度的必需证明材料。 各学院将采用以下选拔标准来协助审理申请。请注意，这些标准同时适用于有资助项目和自费项目。 请注意，本项目对已提交申请实行滚动审理；如果选出合适的申请人，项目可能在申请截止日期之前撤下。 立即申请

英语语言要求： 申请者必须满足最低的英语语言要求。更多详情可于国际网站查阅。